Question

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，△ABD为等腰直角三角形，∠ADB=90゜，AC=AB，AC与BD相交于E点，CF⊥AB于点F，交BD于G点．下列结论：
①CF=

1

2

AB；②BE=BC；③BC=

2

CD；④CE=2BF，
其中正确的个数为（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：①过D作DH⊥AB，垂足为H．由△ABD为等腰直角三角形，可证得DH=

1

2

AB，易得四边形DHFC是矩形，即可证得CF=

1

2

AB；
②由CF=

1

2

AB，AC=AB，易得∠CAB=30°，又由AC=AB，易求得∠BCE=∠BEC=75°，则可得BE=BC；
③首先过C作CK⊥BD，K是垂足，易得△CKD是等腰直角三角形，继而求得答案；
④首先过B作BM⊥CE，垂足为M，易证得△BCF≌△CBM，则可证得结论．

解答：解：①过D作DH⊥AB，垂足为H．
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴DH是斜边AB上的中线，DH=

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2

AB；
∵CD∥AB，CF⊥AB，
∴四边形DHFC是矩形，
∴CF=DH=

1

2

AB，故正确．

②∵CF=

1

2

AB，AC=AB，
∴CF=

1

2

AC，
∴∠CAB=30°；
在等腰△ABC中，∠ACB=∠ABC=（180°-30°）÷2=75°，
∵∠DBA=45°，
∴∠DBC=75°-45°=30°，
在△BEC中，∠BEC=180°-30°-75°=75°=∠BCE，
∴BE=BC．故正确；

③过C作CK⊥BD，K是垂足，
∵CD∥AB，∠BDC=∠DBA=45°，
∴△CKD是等腰直角三角形，
∴CK=

2

2

CD，
∵在△BCK中，∠DBC=30°，
∴BC=2CK=

2

CD，故正确．

④直角△CBF中，∠BCF=90°-75°=15°，
∵△BEC是顶角为30°的等腰三角形，
过B作BM⊥CE，垂足为M，则CM=EM=

1

2

CE，∠CBM=

1

2

∠CBE=15°，
∴∠BCF=∠CBME，
在△BCF和△CBM中，

∠BCF=∠CBM ∠CFB=∠CMB=90° BC=CB

∴△BCF≌△CBM（AAS），
∴BF=CM=

1

2

CE，
即CE=2BF．故正确．
故选D．

点评：此题考查了梯形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．