Question

如图，抛物线与直线交于C，D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作轴于点E，交CD于点F.

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。
（3）若存在点P，使，请直接写出相应的点P的坐标

Answer 1

（1）；（2）当m=1或2或时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，理由见解析；（3）P（）或（）.

试题分析：（1）由直线经过点C，求出点C的坐标；由抛物线经过点C，D两点，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）因为PF∥CO，所以当PF=CO时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，分和两种情况讨论即可；（3）如图，当点P在CD上方且∠PCF=45⁰时，作PM⊥CD于点M，CN⊥PF于点N，则△PMF∽△CNF，∴，∴PM=CM=2CF，∴，又∵，∴，解得：，（舍去），∴P（），当点P在CD下方且∠PCF=45⁰时，同理可以求得：另外一点为P（）.

试题解析：（1）∵直线经过点C，∴C（0，2）.
∵抛物线经过点C（0，2），D ，
∴，解得.
∴抛物线的解析式为.
（2）∵点P的横坐标为m且在抛物线上， ∴.
∵PF∥CO，∴当PF=CO时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形.
当时，，
∴，解得：.
即当m=1或2时，四边形OCPF是平行四边形.
当时，，
∴，解得：（∵点P在y轴右侧的抛物线上，∴舍去）.
即当时，四边形OCFP是平行四边形.
综上所述，当m=1或2或时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形.
（3）P（）或（）.