如图.在直角梯形ABCD中.AD∥BC.∠C=90°.若BC=16.DC=12.AD=21.动点P从点D出发.在线段AD上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,动点Q从点B出发.在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．现点P.Q分别从点D.B同时出发.当点P运动到A点时.点Q随之停止运动.设运动的时间为t(s)．(1)当t为何值时.四边形ABQP是平行四边形,(2)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，若BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，在线段AD上以每秒2个单位长度的速度向点A运动；动点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．现点P，Q分别从点D，B同时出发，当点P运动到A点时，点Q随之停止运动，设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形；
（2）当t为何值时，四边形ABQP是直角梯形；
（3）是否存在以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

分析：（1）根据平行四边形的性质，得出AP=BQ，再根据动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，得出PD=2t，BQ=t，从而得出AP=21-2t，解出t的值，即可得出答案；
（2）先过点B作BE⊥AD，根据AD和BC的值求出AE，再根据BQ=EP=t，AP=2t得出5+t=2t，求出t的值即可；
（3）过点P作PF⊥BC，分三种情况进行讨论，若PB=PQ，则BF=FQ=

t，得出5+

t=21-2t；若PB=PQ，则BP=t，得出12²+（16-2t）²=t²，然后进行整理，判断出△＜0，此情况不成立；若PQ=BQ，则PQ=t，求出FQ的值，再根据勾股定理得出12²+（3t-16）²=t²，然后进行整理得出△＜0，此情况不成立．

解答：解：（1）若四边形ABQP是平行四边形，则AP=BQ，
∵PD=2t，BQ=t，AD=21，
∴AP=21-2t，则21-2t=t，
解得：t=7，
∴当t为7秒时，四边形ABQP是平行四边形；

（2）如图，过点B作BE⊥AD，垂足为E，
∵AD=21，BC=16，
∴AE=21-16=5，
∵BQ=EP=t，AP=21-2t，
∴5+t=21-2t，解得：t=

，
∴当t为

秒时，四边形ABQP是直角梯形；
（3）存在；
如图，过点P作PF⊥BC，垂足为F，
若PB=PQ，则BF=FQ=

t，
∵AE=5，EP=BF=

t，
∴5+

t=21-2t，解得：t=

，
如图：若PB=PQ，则BP=t，
∵BC=ED=16，DP=2t，
∴EP=16-2t，
又∵EB=DC=12，

∴12²+（16-2t）²=t²，
整理得：3t²-64t+400=0，
∵△=64²-4×3×400＜0，
∴此情况不成立；
若PQ=BQ，则PQ=t，
∵CF=PD=2t，CQ=BC-BQ=16-t，
∴FQ=CF-CQ=2t-（16-t）=3t-16，
∵PF=DC=12，
∴12²+（3t-16）²=t²，
整理得：t²-12t+50=0，
∵△=12²-4×1×50＜0，
∴此情况不成立；
综上所述，

秒时，△BPQ是等腰三角形．

点评：此题考查了四边形的综合，用到的知识点是平行四边形的性质、勾股定理、直角梯形的性质，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形，注意分类讨论的思想．