Question

1．已知在△ABC中，a=2$\sqrt{2}$cm，b=2$\sqrt{3}$cm，c=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$cm，求△ABC的各角和面积．

Answer 1

分析 作△ABC的高CD，设AD=xcm，则DB=（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$-x）cm．利用勾股定理得出CD²=AC²-AD²=（2$\sqrt{3}$）²-x²，CD²=BC²-BD²=（2$\sqrt{2}$）²-（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$-x）²，解方程（2$\sqrt{3}$）²-x²=（2$\sqrt{2}$）²-（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$-x）²，求出x=$\sqrt{6}$，再根据三角函数定义求出∠A=45°，∠B=60°，那么∠ACB=180°-∠A-∠B=75°．然后利用△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•CD，计算即可求解．

解答 解：如图，作△ABC的高CD，设AD=xcm，则DB=（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$-x）cm．
在直角△ACD中，CD²=AC²-AD²=（2$\sqrt{3}$）²-x²，
在直角△BCD中，CD²=BC²-BD²=（2$\sqrt{2}$）²-（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$-x）²，
所以（2$\sqrt{3}$）²-x²=（2$\sqrt{2}$）²-（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$-x）²，
解得x=$\sqrt{6}$，
即AD=$\sqrt{6}$cm，DB=$\sqrt{2}$cm．
在直角△ACD中，∵cosA=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠A=45°．
在直角△BCD中，∵cosB=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=75°．
∵CD=AD=$\sqrt{6}$cm，AB=（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）cm，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）×$\sqrt{6}$=3+$\sqrt{3}$（cm²）．

点评 本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，三角形的面积，作出辅助线利用勾股定理得出方程是解题的关键．