Question

4．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A₁恰落在∠BCD的平分线上时，CA₁的长为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}±1$
• C． 2$\sqrt{2}$±1
• D． $\sqrt{6}±\sqrt{2}$

Answer 1

分析 如图，作辅助线；证明MA₁=MC（设为λ），此为解题的关键性结论；在△BMA₁中，运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ，根据CA₁=$\sqrt{2}$λ，即可解决问题．

解答 解：如图，如图，过点A₁作A₁M⊥BC，A₁N⊥CD；
∵四边形ABCD为矩形，且CA₁平分∠MCN，
∴∠MCA₁=∠MA₁C，
∴MA₁=MC（设为λ），
则BM=4-λ；由题意得：BA₁=BA=3；
由勾股定理得：λ²+（4-λ）²=3²，
解得：λ=2±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CA₁=$\sqrt{2}λ$=2$\sqrt{2}$±1，
故选C．

点评 该题以矩形为载体，以考查翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点为核心构造而成；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用查翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、解答．