Question

关于x的方程kx2+(k+2)x+

k

4

=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于关于x的方程kx2+(k+2)x+

k

4

=0有两个不相等的实数根，那么它的判别式△应该是大于0，由此可以建立关于k的不等式，解不等式即可求出实数k的取值范围；
（2）首先利用根与系数的关系求出两根之和和两根之积，然后利用：方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，即可列出关于k的方程，解方程即可求出k的值，再判断是否在（1）求出的k的范围内即可．

解答：解：（1）依题意得△=(k+2)2-4k•

k

4

＞0，
∴k＞-1，
又∵k≠0，
∴k的取值范围是k＞-1且k≠0；
（2）解：不存在符合条件的实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
理由是：设方程kx2+(k+2)x+

k

4

=0的两根分别为x₁，x₂，
由根与系数的关系有：

x1+x2=- k+2 k x1x2= 1 4

，
∵方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
∴-

k+2

k

=

1

2

，
∴k=-

4

3

，
由（1）知，k＞-1，且k≠0，
∴k=-

4

3

舍去，
因此不存在符合条件的实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．

点评：本题重点考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．