Question

12．如图Rt△ABC，AB=AC=6，D为AC上一点，连接BD，AF⊥BD交BD于H，交BC于F，CE⊥AC交AF的延长线于E，
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）当D为AC上离A点最近的三等分点时，连接DE，求DE的长；
（3）当D为AC上离A点最近的n等分点时，连接BE，求S_△BDC：S_△BEC（用含n的代数式表示，直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）先根据Rt△ABC中，∠BAD=90°，AH⊥BD，得到∠2=∠3，再根据∠ACE=∠BAD=90°，运用ASA判定△ABD≌△CAE即可；
（2）先根据全等三角形的性质得到CE=AD，再根据D为AC上离A点最近的三等分点，求得AD=2，CD=4，再根据CE=2，∠DCE=90°，运用勾股定理求得DE即可；
（3）根据全等三角形的性质得到CE=AD，再根据D为AC上离A点最近的n等分点，求得AD和CD，再根据AB=AC=6，求得S_△BDC和S_△BEC，最后计算其比值即可．

解答 解：（1）如图1，Rt△ABC中，∠BAD=90°，AH⊥BD，
∴∠1+∠2=∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
又∵CE⊥AC，
∴∠ACE=∠BAD=90°，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠ACE}\\{AB=CA}\\{∠3=∠2}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（ASA）；

（2）如图2，∵△ABD≌△CAE，
∴CE=AD，
∵D为AC上离A点最近的三等分点，AC=6，
∴AD=2，CD=4，
∴CE=2，
∵∠DCE=90°，
∴Rt△CDE中，DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；

（3）如图3，∵△ABD≌△CAE，
∴CE=AD，
∵D为AC上离A点最近的n等分点，AC=6，
∴AD=$\frac{6}{n}$，CD=6-$\frac{6}{n}$=$\frac{6（n-1）}{n}$，
∴CE=$\frac{6}{n}$，
∴S_△BDC=$\frac{1}{2}$×CD×AB=$\frac{1}{2}$×$\frac{6（n-1）}{n}$×6=$\frac{18（n-1）}{n}$，
S_△BEC=$\frac{1}{2}$×CE×AC=$\frac{1}{2}$×$\frac{6}{n}$×6=$\frac{18}{n}$，
∴S_△BDC：S_△BEC=$\frac{18（n-1）}{n}$：$\frac{18}{n}$=n-1．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以勾股定理的综合应用，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．