Question

【题目】如图，在矩形中，，，点是边上一点，且．点是直线上一点且在点的右侧，，点从点出发，沿射线方向以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为秒．以为圆心，为半径作半圆，交直线分别于点，（点在的左侧）．

（1）当秒时，的长等于__________，__________秒时，半圆与相切；

（2）当点与点重合时，求半圆被矩形的对角线所截得的弦长；

（3）若，求扇形的面积．

（参考数据：，，）

Answer 1

【答案】（1），；（2）当点与点重合时，半圆被矩形的对角线所截得的弦长为；（3）或．

【解析】

（1）先根据线段的和差求出BP的长，再根据勾股定理即可求出PC的长；先根据圆的性质、勾股定理求出BP的长，再根据线段的和差求出PQ的长，由此即可求出t的值；

（2）如图3（见解析），先在中，求出，从而可得，再根据直角三角形的性质求出，然后根据正弦三角函数值求出CF的长，最后根据垂径定理即可得；

（3）先依题意分两种情况，再分别根据三角形的外角性质求出的度数，然后根据直角三角形的性质求出PC的长，最后根据扇形的面积公式求解即可得．

（1）四边形ABCD是矩形

当秒时，

若半圆与相切，则点P在线段AB上，且

设，则

在中，，即

解得

故答案为：，；

（2）如图3，过点作于

在中，

，

在中，

，即

由垂径定理可得：

故当点与点重合时，半圆被矩形的对角线所截得的弦长为；

（3）若，分以下两种情况：

①如图4，

在中，

则

②如图5，

在中，

则

综上，扇形的面积为或．