题目内容
如图，过正方形ABCD的顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于点M、N，DM与BN交于点H，DM与BC交于点E，BN△AEF与DC交于点F．（1）猜想：CE与DF的大小关系？并证明你的猜想．
（2）猜想：H是△AEF的什么心？并证明你的猜想．
分析：（1）利用正方形的性质得到AD∥BC，DC∥AB，利用平行线分线段成比例定理得到
=
=
，
=
，从而得到
=
，然后再利用AB=BC即可得到CE=DF；
（2）首先证得△ADF≌△DCE，从而得到∠DAF=∠FDE，再根据∠DAF+∠ADE=90°得到AF⊥DE，同理可得FB⊥AE，进而得到H为△AEF的垂心．
| CE |
| ND |
| MC |
| MN |
| BC |
| NA |
| DF |
| AB |
| ND |
| NA |
| CE |
| BC |
| ND |
| NA |
（2）首先证得△ADF≌△DCE，从而得到∠DAF=∠FDE，再根据∠DAF+∠ADE=90°得到AF⊥DE，同理可得FB⊥AE，进而得到H为△AEF的垂心．
解答：解：（1）CE=DF；
证明：∵正方形ABCD
∴AD∥BC，DC∥AB
∴
=
=
，
=
（
∴
=
∴又AB=BC
∴CE=DF；
（2）垂心．
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠DAF=∠FDE，
∵∠DAF+∠ADE=90°，
∴AF⊥DE，
同理FB⊥AE．
H为△AEF的垂心．
证明：∵正方形ABCD
∴AD∥BC，DC∥AB
∴
| CE |
| ND |
| MC |
| MN |
| BC |
| NA |
| DF |
| AB |
| ND |
| NA |
∴
| CE |
| BC |
| ND |
| NA |
∴又AB=BC
∴CE=DF；
（2）垂心．
在△ADF与△DCE中，
|
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠DAF=∠FDE，
∵∠DAF+∠ADE=90°，
∴AF⊥DE，
同理FB⊥AE．
H为△AEF的垂心．
点评：本题考查了相似形的综合知识，本题是一道开放性问题，正确的猜想是进一步解题的方向和基础，非常重要．
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17、如图，以锐角△ABC的边AB、AC向外作正方形APQB和正方形AEFC，连接PE，作AD⊥BC，垂足为D，延长DA交PE于点H．过P作PM⊥DM，垂足为M，过点E作EN⊥DM，垂足为N．
