Question

【题目】阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

（1）如图1，AC∥BD，点E为直线AC上方一点，连接CE、DE，猜想∠C、∠D、∠E的数量关系，并证明.小明发现，可以过点E作MN∥AC来解决问题，如图2，请你完成解答：

（2）用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：

如图3，AB∥CD，P是平面内一点，连接AP、CP，使AP∥BD，∠APC=100°，BM、CM分别平分∠ABD，∠DCP交于点M，求∠M的度数．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠CMB=140°.见解析.

【解析】

(1)过点E作MN∥AC, 从而得到MN//AC//BD,再由平行线的性质得到：∠NED=∠D，∠NEC=∠C，从而得到∠D=∠C+∠CED;

(2) 过点M作EF∥CD,过点P作HQ∥CD则EF∥HQ∥CD∥AB，再根据平行线的性质和角平分线的性质得到∠APC=180°-∠CPH-∠APQ，从而求得度数.

(1)证明：过点E作MN∥AC

∵AC∥BD

∴MN∥BD

∴∠NED=∠D

∵MN∥AC

∴∠NEC=∠C

∵∠NED=∠NEC+∠CED

∴∠D=∠C+∠CED;

（2）解：过点M作EF∥CD,过点P作HQ∥CD, 如图:

∵AB∥CD

∴EF∥HQ∥CD∥AB.

∵BM、CM分别平分∠ABD，∠DCP

∴设∠ABM=∠MBN=α,∠DCM=∠MCP=β

∵CD∥EF

∴∠DCM=∠CME=β

∵AB∥EF

∴∠ABM=∠BMF=α

∴∠CMB=180°-∠CME-∠BMF=180°-α-β

∵CD∥HQ

∴∠DCP=∠CPH=2α

∵AB∥HQ

∴∠BAP+∠APQ=180°

∵BN∥AP

∴∠BAP+∠ABN=180°

∴∠APQ=∠ABN=2β

∴∠APC=180°-∠CPH-∠APQ=180°-2α-2β=100°

∴α+β=40°

∴∠CMB=180°-α-β=140°.