题目内容
14．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=6，OC=4，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M，N两点间的距离为|MN|=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{{y}_{1}）}^{2}}$．
分析 （1）△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，可以知道四边形ADFB是正方形，因而BF=AB=OC=4，则CF=6-4=2，因而E、F的坐标就可以求出．
（2）顶点为F的坐标根据第一问可以求得是（2，4），因而抛物线的解析式可以设为y=a（x-2）2+4，以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，应分EF是腰和底边两种情况进行讨论．
（3）作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．求出线段E′F′的长度，就是四边形MNFE的周长的最小值．
解答 解：（1）由题意可得：E（6，2）；F（2，4）
（2）在Rt△EBF中，∠B=90°，
∴EF=$\sqrt{E{B}^{2}+B{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
设点P的坐标为（0，n），其中n＞0，
∵顶点F（2，4），
∴设抛物线解析式为y=a（x-2）2+4（a≠0）．
①如图1，
当EF=PF时，EF2=PF2，
∴22+（n-4）2=20．
解得n1=0；n2=8．
∴P（0，8）或（0，0）．
∴8=a（0-2）2+4或0=a（0-2）2+4，
解得a=1或a=-1．
∴抛物线的解析式为y=±（x-2）2+4；
②如图2，
当EP=FP时，EP2=FP2，
∴（4-n）2+4=（2-n）2+36．
解得：n=-5，
可求得a=-$\frac{9}{4}$，
③当EF=EP时，这种情况不存在．
综上所述，符合条件的抛物线解析式是y=±（x-1）2+2或y=-$\frac{9}{4}$（x-2）2+4；
（3）存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小．
如图3，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，
连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．
∴E′（6，-2），F′（-2，4），NF=NF′，ME=ME′．
∴BF′=8，BE′=6．
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，．
又∵EF=2$\sqrt{5}$，
∴FN+MN+ME+EF=10+2$\sqrt{5}$，
此时四边形MNFE的周长最小值是：10+2$\sqrt{5}$．
点评 本题主要考查了待定系数法求函数解析式以及利益轴对称求最短路线和勾股定理等知识，注意求线段的和最小的问题基本的解决思路是根据对称转化为两点之间的距离的问题．
如图，二次函数y=$\frac{4}{3}$x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC至点E，使CE=AD，连接AE交CD于点F，过点F作AE的垂线交BC于点P，连接PA．
用2根同样长的木条AB，CD和另外两根同样长的木条AD，BC拼成一个四边形ABCD，
近年来，江苏省实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，宜兴市计划在某镇的张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示），医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路的距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你利用尺规作图确定P点的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则下列坐标不可能是点E的坐标的是（ ）| A． | （4，0） | B． | （6，0） | C． | （6，4） | D． | （4，5） |
| A． | 八边形 | B． | 六边形 | C． | 五边形 | D． | 四边形 |