题目内容

如图，设P为 $数学公式$ 在第一象限的图象上的任一点，点P关于y轴的对称点为P′，连接P′P、P′O、OP．
（1）说明△POP′的面积永远为定值4．
（2）当P点移动到P₁（x₁，y₁），点P₁关于y轴的对称点为 $数学公式$ ，使△ $数学公式$ 为等边三角形时，求OP₁所在直线的解析式；
（3）当P点移动到P₂（x₂，y₂），点P₂关于y轴的对称点为 $数学公式$ ，且y₂= $数学公式$ 时，求梯形P₁ $数学公式$ $数学公式$ P₂的面积．

解：（1）过P点作PH⊥x轴，如图，设P点坐标为（x，y），
∵y= $\text{[math]}$ ，
∴xy=4，
∴S_△OPH= $\text{[math]}$ xy=2，
∵点P关于x轴的对称点为P′，
∴S_△P′PO=2S_△OPH=4，
即△POP′的面积永远为定值4；

（2）过P₁作P₁A⊥x轴于A，如图，
∵点P₁关于x轴的对称点为P₁′，△ $\text{[math]}$ 为等边三角形，
∴OP₁与y轴的夹角为30°，
∴∠AOP₁=60°，
∴P₁A= $\text{[math]}$ OA，
设P₁的坐标为（x₁， $\text{[math]}$ x₁），直线OP₁的解析式为y=kx，
把P₁的坐标代入可解得k= $\text{[math]}$ ，
∴OP₁所在直线的解析式为：y= $\text{[math]}$ x；

（3）过P₁作P₁B⊥x轴于B，交P₂P₂′于C，如图，
∵P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）都在y= $\text{[math]}$ 上，且y₂= $\text{[math]}$ ，
∴x₁•y₁=4，x₂•y₂=4，x₂=2x₁，
∴P₁C=y₁-y₂= $\text{[math]}$ y₁，
∴梯形P₁ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ P₂的面积= $\text{[math]}$ （P₁P₁′+P₂P₂′）•P₁C
= $\text{[math]}$ （2x₁+2x₂）（y₁-y₂）
= $\text{[math]}$ •6x₁• $\text{[math]}$ y₁= $\text{[math]}$ •x₁•y₁= $\text{[math]}$ ×4
=6．
分析：（1）过P点作PH⊥x轴，如图，设P点坐标为（x，y），易得S_△OPH= $\text{[math]}$ xy=2，根据对称的性质得到S_△P′PO=2S_△OPH=4；
（2）过P₁作P₁A⊥x轴于A，由点P₁关于x轴的对称点为P₁′，△ $\text{[math]}$ 为等边三角形，得OP₁与y轴的夹角为30°，则∠AOP₁=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到P₁A= $\text{[math]}$ OA，这样可设P₁的坐标为（x₁， $\text{[math]}$ x₁），直线OP₁的解析式为y=kx，然后把P₁的坐标代入可解得k= $\text{[math]}$ ，从而确定OP₁所在直线的解析式；
（3）过P₁作P₁A⊥x轴于B，交P₂P₂′于C，根据P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）都在y= $\text{[math]}$ 上，且y₂= $\text{[math]}$ ，可得到x₁•y₁=4，x₂•y₂=4，x₂=2x₁，则P₁C=y₁-y₂= $\text{[math]}$ y₁，利用梯形的面积公式得到梯形P₁ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ P₂的面积= $\text{[math]}$ （P₁P₁′+P₂P₂′）•P₁C= $\text{[math]}$ （2x₁+2x₂）（y₁-y₂）= $\text{[math]}$ •6x₁• $\text{[math]}$ y₁，把x₁•y₁=4代入计算即可．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：点在反比例函数图形上，点的坐标满足其解析式；点的坐标与线段之间的关系；对称和等边三角形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．