题目内容
【题目】如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD＝BD，∠C＝70°．现给出以下四种结论：①∠A＝45°；②AC＝AB；③AE＝BE；④CEAB＝2BD2．其中正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
【答案】C
【解析】
连接AD，根据圆周角定理可知∠ADB=90°，再由CD=CB可知AD是BC的垂直平分线，可知②正确；连接DE，BE，由圆内接四边形的性质可知∠CDE=∠CAB，故可得出△CDE∽△CAB，由此可判断出④正确．
连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵CD=BD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AC=AB，故②正确；
∵AC=AB，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠BAC=40°，故①错误；
连接BE，DE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠BAC=40°，
∴∠ABE=50°，
∴∠BAC≠∠ABE，
∴AE≠BE，故③错误；
∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠CDE=∠CAB，
∴△CDE∽△CAB，
∴
，即
，
∴CEAB=2BD2，故④正确．
故选C．
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