Question

4．如图，直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E，F．点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）．
（1）求k的值，及一次函数解析式；
（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点．当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：当P运动到什么位置时，△OPA的面积为$\frac{27}{8}$，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点E的坐标为（-8，0）代入y=kx+6求出k即可解决问题；
（2）△OPA是以OA长度6为底边，P点的纵坐标为高的三角形，根据S_△PAO=$\frac{1}{2}$•OA•P_y，列出函数关系式即可；、
（3）利用（2）的结论，列出方程即可解决问题；

解答 解：（1）∵直线y=kx+6交于点E（-8，0），
∴0=-8k+6，
∴k=$\frac{3}{4}$，
∴这个一次函数解析式为y=$\frac{3}{4}$x+6．

（2）∵△OPA是以OA长度6为底边，P点的纵坐标为高的三角形，P（x，$\frac{3}{4}$x+6）
∴S_△PAO=$\frac{1}{2}$×6×（$\frac{3}{4}$x+6）=$\frac{9}{4}$x+18（-8＜x＜0）；

（3）∵△OPA的面积为$\frac{27}{8}$，
∴$\frac{9}{4}x+18=\frac{27}{8}$，
∴x=-$\frac{13}{2}$
把$x=-\frac{13}{2}$代入一次函数$y=\frac{3}{4}x+6$，得$y=\frac{9}{8}$
∴当P点的坐标为（$-\frac{13}{2}$，$\frac{9}{8}$）时，△OPA的面积为$\frac{27}{8}$．

点评 本题考查一次函数综合题、三角形的面积、一元一次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建一次函数或方程解决实际问题，属于中考常考题型．