Question

【题目】如图1，在正方形中，平分，交于点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点．

(1)求证：；

(2)如图2，连接、，求证：平分；

(3)如图3，连接交于点，求的值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).

【解析】

(1)由正方形性质得出，，根据直角三角形两锐角互余的关系可得，利用可证得，即可得出结论；(2)由正方形性质与角平分线的定义得出，利用可证得得出，由直角三角形斜边中线的性质得出，根据角的和差关系可得，即可得出结论；(3)连接，由正方形的性质得出，，，推出，根据角的和差关系可得，利用可证得，得出，推出，即可证得△DCM∽△ACE，即可得出结果．

(1)∵四边形是正方形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

在和中，，

∴，

∴.

(2)证明：∵四边形是正方形，

∴，

∵平分，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴平分.

(3)解：连接，如图3所示：

∵四边形是正方形，

∴，，，

∴，

∵，，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴=22.5°，

∵，

∴，

∴．