Question

如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，DF=3FC，连接AE、AF、EF，那么下列结果错误的是（　　）

• A、△ABE与△EFC相似
• B、△ABE与△AEF相似
• C、△ABE与△AFD相似
• D、△AEF与△EFC相似

Answer 1

分析：此题可根据已知及相似三角形的判定、正方形的性质判断给出的每两个三角形是否相似确定答案．

解答：解：已知在正方形ABCD中，E为BC中点，DF=3FC，得：
AB=BC=DC=AD，BE=CE=

1

2

AB=

1

2

BC=

1

2

DC，DC=4CF，
∴CF=

1

2

BE=

1

2

CE，即BE=CE=2CF．
在△ABE和△EFC中

CE

AB

=

1

2

，

CF

BE

=

4CF

4BE

=

DC

2BC

=

1

2

∴△ABE与△EFC相似，
∴∠AEB=∠EFC，
∴∠AEB+FEC=90°，
∴△ABE与△AEF相似都是直角三角形
∴EF²=CF²+CE²=CF²+（2CF）²=5CF²
BE²=CE²=4CF²
∴

EF2

BE2

=

5CF2

4CF2

=

5

4

∴

EF

BE

=

5

2

．
AE²=AB²+BE²=（2BE）²+BE²=5BE²
AB²=（2BE）²=4BE²

AE2

AB2

=

5

4

∴

AE

AB

=

5

2

∴△ABE与△AEF相似
又△ABE与△EFC相似（已证）
∴△AEF与△EFC相似．
已知正方形ABCD，∴在两直角三角形ABE和△AFD中的两直角边

AD

AB

=1，
DF=3CF，BE=2CF∴

DF

BE

=

3CF

2CF

=

3

2

∴△ABE与△AFD不相似．
所以C答案相似错误．
故选：C．

点评：此题考查了学生对正方形性质的应用及相似三角形判定的掌握．解答此题的关键是根据已知条件所给的4对三角形是否相似确定答案．此题为中档题．