Question

（2012•南宁模拟）如图，在直径为4的⊙O中，弦AC=2

3

，则劣弧AC所对的圆周角∠ABC的余弦值是（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  3

  3

• C．

  2

  2

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：连接OA，OC，过O作OD垂直于AC，由垂径定理得到D为AC的中点，求出AD的长，在直角三角形AOD中，由OA与AD的长，利用勾股定理求出OD的长，进而确定出∠OAC的度数，再利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半即可求出所求角的度数．

解答：解：连接OA，OC，过O作OD⊥AC，
∴D为AC的中点，即AD=CD=

1

2

AC=

3

，
在Rt△AOD中，OA=2，AD=

3

，
根据勾股定理得：OD=

OA2-AD2

=1，
∴OD=

1

2

OA，又OA=OC，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠AOC=120°，
∵∠AOC与∠ABC都对

AB

，
∴∠ABC=

1

2

∠AOC=60°，
则cos∠ABC=

1

2

．
故选D

点评：此题考查了圆周角定理，垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．