Question

已知：如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从A，C处同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动． 问：
（1）P，Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积是33cm²；
（2）P，Q两点从出发开始到几秒，在AB上存在一点M，使△PMQ为等边三角形？

Answer 1

解：（1）设P、Q两点从出发开始x秒时，四边形PBCQ的面积是33cm，则AP=3x，PB=16﹣3x，CQ=2x；
由梯形的面积公式，可得：[2x+（16﹣3x）]×6÷2=33
解得：x=5
答：P、Q两点从出发开始5秒时，四边形PBCQ的面积是33cm²
（2）过Q作QN⊥AB于N，设运动的时间为t，那么AP=3t，CQ=CN=2t，
当P在Q上方时如图（1），PN=AB﹣CQ﹣AP=16﹣5t．
由于三角形PQM是等边三角形，那么∠NPQ=60°，NQ=PN
6=×（16﹣5t）
t=（秒）
当P在Q下面时如图（2），PN=AP﹣DQ=3t﹣（16﹣2t）=5t﹣16
由于三角形PQM是等边三角形，那么∠NPQ=60°，NQ=PN
6=×（5t﹣16）
t=（秒）
答：当t为秒时，三角形PQM是等边三角形．