Question

已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，F是AD上一点，CF⊥EF于点F交AB于点E，

DC

CF

=

1

2

．求AE的长．

Answer 1

分析：由在矩形ABCD中，CF⊥EF，易证得△AEF∽△DFC；又由

DC

CF

=

1

2

．根据相似三角形的对应边成比例，易得∠DFC=30°，由三角函数的性质，即可求得答案．

解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，DC=AB=4，
∵CF⊥AE，
∴∠EFC=90°．
∴∠AFE+∠DFC=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AEF=∠DFC，
∴△AEF∽△DFC．
∴

AE

DF

=

AF

DC

，
∵

DC

CF

=

1

2

，DC=4，
∴∠DFC=30°，
∴FD=

DC

tan30°

=

4

tan30°

=4

3

，
∴AF=10-4

3

，
∴AE=

AF-FD

CD

=

5-2 3

2

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．