Question

求证：

a2-bc

(a+b)(a+c)

+

b2-ca

(b+c)(b+a)

=

ab-c2

(c+a)(c+b)

Answer 1

分析：首先观察等式两边分式的结构，把

a2-bc

(a+b)(a+c)

转化成

a

a+b

-

c

a+c

形式，利用比差法进行解答即可证明．

解答：证明：∵

a2-bc

(a+b)(a+c)

=

a2+ac-ac-bc

(a+b)(a+c)

=

a(a+c)-c(a+b)

(a+b)(a+c)

=

a

a+b

-

c

a+c

，
∴

b2-ca

(b+c)(b+a)

=

b

b+c

-

a

b+a

，

c2-ab

(c+a)(c+b)

=

c

c+a

-

b

b+c

，
∴左-右=

a2-bc

(a+b)(a+c)

+

b2-ca

(b+c)(b+a)

+

c2-ab

(c+a)(c+b)

=

a

a+b

-

c

a+c

+

b

b+c

-

a

b+a

+

c

c+a

-

b

b+c

=0，
∴等式成立．

点评：本题主要考查分式的等式证明的知识点，利用比差法解题是解答本题的关键，本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．