题目内容

求证：
a2-bc
(a+b)(a+c)
+
b2-ca
(b+c)(b+a)
=
ab-c2
(c+a)(c+b)
证明：∵
a2-bc
(a+b)(a+c)
=
a2+ac-ac-bc
(a+b)(a+c)
=
a(a+c)-c(a+b)
(a+b)(a+c)
=
a
a+b
-
c
a+c
，
∴
b2-ca
(b+c)(b+a)
=
b
b+c
-
a
b+a
，
c2-ab
(c+a)(c+b)
=
c
c+a
-
b
b+c
，
∴左-右=
a2-bc
(a+b)(a+c)
+
b2-ca
(b+c)(b+a)
+
c2-ab
(c+a)(c+b)
=
a
a+b
-
c
a+c
+
b
b+c
-
a
b+a
+
c
c+a
-
b
b+c
=0，
∴等式成立．
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求证：
a2-bc
(a+b)(a+c)
+
b2-ca
(b+c)(b+a)
=
ab-c2
(c+a)(c+b)
（2013•徐汇区一模）“数学迷”小楠通过从“特殊到一般”的过程，对倍角三角形（一个内角是另一个内角的2倍的三角形）进行研究．得出结论：如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，如果∠A=2∠B，那么a2-b2=bc．
下面给出小楠对其中一种特殊情形的一种证明方法．
已知：如图2，在△ABC中，∠A=90°，∠B=45°．
求证：a2-b2=bc．
证明：如图2，延长CA到D，使得AD=AB．
∴∠D=∠ABD，
∵∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，∠CAB=90°
∴∠D=45°，∵∠ABC=45°，
∴∠D=∠ABC，又∠C=∠C
∴△ABC∽△BCD
∴
BC
CD
=
AC
BC
，即
a
b+c
=
b
a

∴a2-b2=bc
根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明（用不同于材料中的方法也可以）：
已知：如图1，在△ABC中，∠A=2∠B．
求证：a2-b2=bc．
（2013•莆田质检）新知认识：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别用a，b，c表示，如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．
（1）特殊验证：如图1，在△ABC中，若a=
3
，b=1，c=2．求证：△ABC为倍角三角形﹔
（2）模型探究：如图2，对于任意的倍角三角形，若∠A=2∠B．求证：a2=b（b+c）﹔
（3）拓展应用：在△ABC中，若∠C=2∠A=4∠B．求证：
b
a
+
b
c
=1．
请你阅读引例及其分析解答，希望能给你以启示，然后完成对探究一和探究二中间题的解答．
引例：设a，b，c为非负实数，求证：
a2+b2
+
b2+c2
+
c2+a2
≥
2
（a+b+c），
分析：考虑不等式中各式的几何意义，我们可以试构造一个边长为a+b+c的正方形来研究．
解：如图①设正方形的边长为a+b+c，
则AB=
a2+b2
，
BC=
b2+c 2
，
CD=
a2+c2
，
显然AB+BC+CD≥AD，
∴
a2+b2
+
b2+c2
+
c2+a2
≥
2
（a+b+c）
探究一：已知两个正数x、y，满足x+y=12，求
x2+4
+
y2+9
的最小值：
解：（图②仅供参考）
探究二：若a、b为正数，求以
a2+b2
，
4a2+b2
，
a2+4b2
为边的三角形的面积．

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