Question

如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，现有一动点P从A出发以
2cm/秒的速度，沿矩形的边A-B-C-D回到点A，设点P运动的时间为t秒．
（1）当t=3秒时，求△ABP的面积；
（2）当t为何值时，点P与点A的距离为5cm？
（3）当t为何值时（2＜t＜5），以线段AD、CP、AP的长度为三边长的三角形是直角三角形，且AP是斜边．

Answer 1

分析：（1）求出P运动的距离，得出O在BC上，根据三角形面积公式求出即可；
（2）分为三种情况：P在BC上，P在DC上，P在AD上，根据勾股定理得出关于t的方程，求出即可；
（3）求出BP=2t-4，CP=10-2t，根据AP²=AB²+BP²=4²+（2t-4）²和AD²+CP²=AP²得出方程6²+（10-2t）²=4²+（2t-4）²，求出方程的解即可．

解答：解：（1）
当t=3时，点P的路程为2×3=6cm，
∵AB=4cm，BC=6cm
∴点P在BC上，
∴S△ABP=

1

2

AB•BP=4（cm²）．

（2）
（Ⅰ）若点P在BC上，
∵在Rt△ABP中，AP=5，AB=4
∴BP=2t-4=3，
∴t=

7

2

；
（Ⅱ）若点P在DC上，
则在Rt△ADP中，AP是斜边，
∵AD=6，
∴AP＞6，
∴AP≠5；
（Ⅲ）若点P在AD上，
AP=5，
则点P的路程为20-5=15，
∴t=

15

2

，
综上，当t=

7

2

秒或t=

15

2

时，AP=5cm．

（3）当2＜t＜5时，点P在BC边上，
∵BP=2t-4，CP=10-2t，
∴AP²=AB²+BP²=4²+（2t-4）²
由题意，有AD²+CP²=AP²
∴6²+（10-2t）²=4²+（2t-4）²
∴t=

13

4

＜5，
即t=

13

4

．

点评：本题考查了三角形的面积公式，勾股定理，矩形性质的应用，注意要进行分类讨论．