Question

如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．
（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的

1

6

；
（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）可由SAS求得△ADQ≌△ABQ；
（2）过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，则QE=QF，若△ADQ的面积是正方形ABCD面积的

1

6

，则有S_△ADQ=

1

2

AD•QE=

1

6

S_{正方形ABCD}，求得OE的值，再利用△DEQ∽△DAP有

QE

AP

=

DE

DA

解得AP值；
（3）点P运动时，△ADQ恰为等腰三角形的情况有三种：有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD．由正方形的性质知，①当点P运动到与点B重合时，QD=QA，此时△ADQ是等腰三角形，②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA=DQ，△ADQ是等腰三角形，③当AD=AQ=4时，有CP=CQ，CP=AC-AD而由正方形的对角线的性质得到CP的值．

解答：（1）证明：在正方形ABCD中，
无论点P运动到AB上何处时，都有
AD=AB，∠DAQ=∠BAQ，AQ=AQ，
∴△ADQ≌△ABQ；

（2）解法一：△ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的

1

6

时，
过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，则QE=QF，
∵在边长为4的正方形ABCD中，
∴S_{正方形ABCD}=16，
∴

1

2

AD×QE=

1

6

S_{正方形ABCD}=

1

6

×16=

8

3

，
∴QE=

4

3

，
∵EQ∥AP，
∴△DEQ∽△DAP，
∴

QE

AP

=

DE

DA

，即

4 3

AP

=

4- 4 3

4

，
解得AP=2，
∴AP=2时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的

1

6

；
解法二：以A为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q作QE⊥y轴于点E，QF⊥x轴于点F．

1

2

AD×QE=

1

6

S_{正方形ABCD}=

1

6

×16=

8

3

，
∴QE=

4

3

，
∵点Q在正方形对角线AC上，
∴Q点的坐标为（

4

3

，

4

3

），
∴过点D（0，4），Q（

4

3

，

4

3

）两点的函数关系式为：y=-2x+4，
当y=0时，x=2，
∴P点的坐标为（2，0），
∴AP=2时，即当点P运动到AB中点位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的

1

6

；

（3）解：若△ADQ是等腰三角形，则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD，
①当AD=DQ时，则∠DQA=∠DAQ=45°
∴∠ADQ=90°，P为C点，
②当AQ=DQ时，则∠DAQ=∠ADQ=45°，
∴∠AQD=90°，P为B，
③AD=AQ（P在BC上），
∴CQ=AC-AQ=

2

BC-BC=（

2

-1）BC
∵AD∥BC
∴

CP

AD

=

CQ

AQ

，即可得

CP

CQ

=

AD

AQ

=1，
∴CP=CQ=（

2

-1）BC=4（

2

-1）
综上，P在B点，C点，或在CP=4（

2

-1）处，△ADQ是等腰三角形．

点评：本题利用了正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质求解．