Question

在直角坐标系中，⊙O₁经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B.

(1)如图24-2-2-12，过点A作⊙O₁的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为，=，求直线AC的解析式;

(2)若⊙O₁经过点M(2，2)，设△BOA的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化?如果不变，求出其值;如果变化，求其变化的范围.

图24-2-2-12

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：由切线的性质和勾股定理可求出A、C两点的坐标，这样直线AC的解析式可求. 解：(1)如图，过O作OG⊥AB于G，则OG=， 设OA=3k(k>0)， ∵∠AOB=90°，=， ∴AB=5k，OB=4k. ∵OA·OB=AB·OG=2S△AOB， ∴3k×4k=5×. ∴k=1. ∴OA=3，OB=4，AB=5. ∴A(3，0). ∵∠AOB=90°， ∴AB是⊙O1的直径. ∵AC切⊙O1于A， ∴BA⊥AC. ∴∠BAC=90°. 在Rt△ABC中，∵=， ∴BC=. ∴OC=BC-OB=. ∴C(0，- ). 设直线AC的解析式为y=kx+b，则 ∴k=，b=-. ∴直线AC的解析式为y=x-. (2)结论：d+AB的值不会发生变化， 设△AOB的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，如图所示. ∴BQ=BT，AP=AT，OQ=OP=. ∴BQ=BT=OB-，AP=AT=OA-. ∴AB=BT+AT=OB-+OA-=OA+OB-d. 则d+AB=d+OA+OB-d=OA+OB. 在x轴上取一点N，使AN=OB，连结OM、BM、AM、MN. ∵M(2，2)，∴OM平分∠AOB. ∴OM=2. ∴∠BOM=∠MON=45°. ∴AM=BM. 又∵∠MAN=∠OBM，OB=AN， ∴△BOM≌△ANM. ∴∠BOM=∠ANM=45°，∠ANM=∠MON. ∴OA+OB=OA+AN=ON==×OM=×2=4. ∴d+AB的值不会发生变化，其值为4.