Question

如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G点在边BG上，BG=10．

（1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图（1），求的面积；

（2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图（2），证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．

Answer 1

解：(1)过点G作GH⊥AD,则四边形ABGH为矩形,

∴GH=AB=8,AH=BG=10,

由图形的折叠可知

△BFG≌△EFG,∴EG=BG=10,∠FEG=∠B=90°；∴EH=6,AE=4,∠AEF+∠HEG=90°,

∵∠AEF+∠AFE=90°,∴∠HEG=∠AFE,

又∵∠EHG=∠A=90°,∴△EAF∽△EHG,∴,

∴EF=5,∴S_△EFG=EF?EG=×5×10=25.

(2)由图形的折叠可知四边形ABGF≌四边形HEGF,∴BG=EG,AB=EH,

∠BGF=∠EGF,∵EF∥BG，∴∠BGF=∠EFG,∴∠EGF =∠EFG,∴EF=EG,

∴BG=EF,∴四边形BGEF为平行四边形,又∵EF=EG,∴平行四边形BGEF为菱形；

连结BE，BE、FG互相垂直平分，在Rt△EFH中,EF=BG=10,EH=AB=8,

由勾股定理可得FH=AF=6，∴AE=16，∴BE==8，∴BO=4，

∴FG=2OG=2=4。