题目内容

二次函数y=x²+px+q的图象经过点（2，-1）且与x轴交于不同的两点A（a，0）、B（b，0），设图象顶点为M，求使△AMB的面积最小时的二次函数的解析式．

解：由题意知4+2p+q=-1，即q=-2p-5，
∵A（a，0）、B（b，0）两点在抛物线y=x²+px+q上，
∴a+b=-p，ab=q，
又|AB|=|a-b|= $\text{[math]}$ ，M（ $\text{[math]}$ ），
∴S_△AMB= $\text{[math]}$ |AB|•| $\text{[math]}$ |
= $\text{[math]}$ |a-b|•（P²-4q）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
要使S_△AMB最小，只须使P²-4q为最小，
而P²-4q=P²+8p+20=（p+4）²+4，
∴当p=-4时，P²-4q有最小值为4，
此时q=3，S_△AMB= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =1．
∴二次函数解析式为y=x²-4x+3．
分析：A、B两点在x轴上，用|AB|=|a-b|表示线段AB的长，由两根关系转化为p、q的表达式，根据顶点坐标公式得M（ $\text{[math]}$ ），故有S_△AMB= $\text{[math]}$ |AB|•| $\text{[math]}$ |，又依题意得4+2p+q=-1，即q=-2p-5，转化为关于p的二次函数求面积最小时，p、q的值．
点评：本题考查了二次函数最值在求三角形面积中的运用．关键是根据题意表示三角形的面积，将所得式子转化为二次函数求解．