Question

（本题满分12分） 已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，

（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．

（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形?证明你的结论．

Answer 1

（1）证明见试题解析；（2）是，理由见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）连接AD，由AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，得出∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可得出：△BED≌△AFD，从而有DE=DF，∠BDE=∠ADF，故∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；

（2）由∠DAF=∠DBE，再结合两组对边对应相等，所以△DAF≌△DBE，从而得到结论．

试题解析：（1）连接AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，∴AD⊥BC，BD=AD，∴∠B=∠DAC=45°，又BE=AF，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴ED=FD，∠BDE=∠ADF，∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°，∴△DEF为等腰直角三角形；

（2）△DEF为等腰直角三角形．如图所示：连接AD，∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∵∠BAC=90°，D为BC的中点，∴AD=BD，AD⊥BC（三线合一），∴∠DAC=∠ABD=45°，∴∠DAF=∠DBE=135°，又AF=BE，∴△DAF≌△DBE（SAS），∴FD=ED，∠FDA=∠EDB，∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°，∴△DEF仍为等腰直角三角形．

考点：1．等腰直角三角形；2．全等三角形的判定与性质．

考点分析： 考点1：三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．
（4）三角形具有稳定性． 试题属性

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