Question

已知直线y=

1

2

x和y=-x+m，二次函数y=x²+px+q图象的顶点为M．
（1）若M恰在直线y=

1

2

x与y=-x+m的交点处，试证明：无论m取何实数值，二次函数y=x²+px+q的图象与直线y=-x+m总有两个不同的交点；
（2）在（1）的条件下，若直线y=-x+m过点D（0，-3），求二次函数y=x²+px+q的表达式；
（3）在（2）的条件下，若二次函数y=x²+px+q的图象与y轴交于点C，与x轴的左交点为A，试在抛物线的对称轴上求点P，使得△PAC为等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）已知直线y=

1

2

x和y=-x+m，列出方程求出x，y的等量关系式即可求出点M的坐标．把M点坐标代入二次函数，求出△＞0．故无论m为何实数值，二次函数与直线总有两个不同的交点．
（2）已知直线y=-x+m过点D，求出M的坐标．
（3）二次函数与y轴交点为C，与x轴的左交点为点A．分情况解出P点坐标．

解答：解：（1）由

y= 1 2 x y=-x+m

得

x= 2 3 m y= 1 3 m

即交点M坐标为（

2

3

m，

1

3

m）（1分）
此时二次函数为y=(x-

2

3

m)2+

1

3

m=x2-

4

3

mx+

4

9

m2+

1

3

m③
由②，③联立，消去y，有x2-(

4

3

m-1)x+

4

9

m2-

2

3

m=0（2分）
△=[-(

4

3

m-1)]2-4(

4

9

m2-

2

3

m)
=

16

9

m2-

8

3

m+1-

16

9

m2+

8

3

m
=1＞0（3分）
∴无论m为何实数值，二次函数y=x²+px+q的图象与直线y=-x+m总有两个不同的交点．（4分）

（2）∵直线y=-x+m过点D（0，-3），
∴-3=0+m
∴m=-3
∴M点坐标为（-2，-1）（5分）
∴二次函数为y=（x+2）²-1=x²+4x+3（6分）

（3）二次函数y=x²+4x+3与y轴交点C为（0，3），与x轴的左交点A为（-3，0）（7分）
①当P₁A=P₁C时，可得P₁坐标为（-2，2）（8分）
②当AP₂=AC时，可得P₂坐标为（-2，

17

）或（-2，-

17

）（9分）
③当CP₃=AC时，可得P₃坐标为（-2，

14

+3）或（-2，3-

14

）（10分）
综上得，当P为（-2，2），（-2，

17

），（-2，-

17

），（-2，

14

+3），
（-2，3-

14

）时，△PAC为等腰三角形．（10分）

点评：本题考查的是二次函数的综合运用以及等腰三角形的性质，难度较大．