题目内容
4．
公园里有一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰好在水面中心，布置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA任意平面上的抛物线如图1所示，建立直角坐标系如图2，水流喷出的高度（m）与水面距离x（m）之间的函数关系式是y=a（x-h）2+k，且OA=1.25m，水柱在离OA为1m处到时达最大高度2.25m，请回答下列问题：（1）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水不至于落在池外；
（2）若不改变水柱的形状，现水池的半径为3.5m，要使喷出的水不至于落在池外，求水柱的最大高度．
分析 （1）根据已知得出二次函数的顶点坐标，即可利用顶点式得出二次函数解析式，令y=0，则-（x-1）2+2.25=0，求出x的值即可得出答案．；
（2）当水流喷出的抛物线形状与（1）相同，即a=-1，当x=3.5时，y=0，进而求出答案即可．
解答 解：（1）∵顶点为（1，2.25），
∴设解析式为y=a（x-1）2+2.25过点（0，1.25），
解得a=-1，
所以解析式为：y=-（x-1）2+2.25，
令y=0，
则-（x-1）2+2.25=0，
解得x=2.5 或x=-0.5（舍去），
所以水池的半径至少要2.5米才能使喷出的水流不致落到池外；
（2）由于喷出的抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为y=-x2+bx+c，
把点（0，1.25）（3.5，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=1.25}\\{-\frac{49}{4}+\frac{7}{2}b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{22}{7}}\\{c=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴y=-x2+$\frac{22}{7}$x+$\frac{5}{4}$=-（x-$\frac{11}{7}$）2+$\frac{729}{196}$，
∴水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达$\frac{729}{196}$米．
点评 此题主要考查了二次函数的应用，根据顶点式求出二次函数的解析式是解题关键．
练习册系列答案
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