Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4

【解析】

（1）连接OD，由角平分线和等腰三角形的性质得出∠ODA＝EAD，证出EA∥OD，再由已知条件得出DE⊥OD，即可得出结论．

（2）作DF⊥AB，垂足为F，由AAS证明△EAD≌△FAD，得出AF＝AE＝8，DF＝DE，求出OF＝3，由勾股定理得出DF，即可得出结果．

（1）证明：连接OD，如图1所示：

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD＝∠OAD，

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD，

∴∠ODA＝∠EAD，

∴EA∥OD，

∵DE⊥EA，

∴DE⊥OD，

∵点D在⊙O上，

∴直线DE与⊙O相切．

（2）作DF⊥AB，垂足为F，如图2所示：

作，垂足为F，如图2所示：

，

在和中，

，

≌，

，，

，

，

在中，，

．