Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求直线AC及抛物线的解析式，并求出D点的坐标；

（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标；

（3）若点P是x轴上一个动点，过P作直线1∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=3x+3，y=﹣x2+2x+3，顶点D的坐标为(1，4)；（2）四边形PMAC的面积的最大值为，此时点P的坐标为(，)；（3）点Q的坐标为(2，3)或(1，﹣3)或(1，﹣3)．

【解析】

（1）先求出点C坐标，然后利用待定系数法即可求出直线AC及抛物线的解析式，把抛物线的一般式转化为顶点式即可求出D点的坐标；

（2）先根据待定系数法求出直线BD的解析式，设点P的横坐标为p，然后根据S四边形PMAC=S△OAC+S梯形OMPC即可得出S四边形PMAC与p的关系式，再根据二次函数的性质解答即可；

（3）由题意得PQ∥AC且PQ=AC，设点P的坐标为(x，0)，当点Q在x轴上方时，则点Q的坐标为(x+1，3)，把点Q的坐标代入抛物线的解析式即可求出x，进而可得点Q坐标；当点Q在x轴下方时，则点Q的坐标为(x﹣1，﹣3)，同样的方法求解即可．

（1）∵抛物线y=﹣ax2+bx+3与y轴交于点C，

∴点C(0，3)，

设直线AC的解析式为y=k1x+b1(k1≠0)．

∵点A(﹣1，0)，点C(0，3)，

∴，解得：，

∴直线AC的解析式为y=3x+3．

∵抛物线y=﹣ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，

∴，解得：，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，

∴顶点D的坐标为(1，4)；

（2）设直线BD的解析式为y=kx+b．

∵点B(3，0)，点D(1，4)，

∴，得，

∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6．

∵P为线段BD上的一个动点，

∴设点P的坐标为(p，﹣2p+6)．

∵OA=1，OC=3，OM=p，PM=﹣2p+6，

∴S四边形PMAC=S△OAC+S梯形OMPC=﹣p2p=﹣(p)2，

∵1＜p＜3，

∴当p时，四边形PMAC的面积取得最大值为，此时点P的坐标为(，)；

（3）∵直线l∥AC，以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，

∴PQ∥AC且PQ=AC．

设点P的坐标为(x，0)，由A(﹣1，0)，C(0，3)，

当点Q在x轴上方时，则点Q的坐标为(x+1，3)，

此时，﹣(x+1)2+2(x+1)+3=3，

解得：x1=﹣1(舍去)，x2=1，

∴点Q的坐标为(2，3)；

当点Q在x轴下方时，则点Q的坐标为(x﹣1，﹣3)，

此时，﹣(x﹣1)2+2(x﹣1)+3=﹣3，

整理得：x2﹣4x﹣3=0，

解得：x1=2，x2=2，

∴点Q的坐标为(1，﹣3)或(1，﹣3)，

综上所述：点Q的坐标为(2，3)或(1，﹣3)或(1，﹣3)．