题目内容
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD相交于点O，过O作BC的平行线分别交AB，CD于点E，F．（1）求证：OE=OF；
（2）若AD=3，BC=4，求EF的长．
分析：（1）由△AOE和△ABC相似可得
=
，由△DOF和△DBC相似可得
=
，由△ACD和△OCF相似可得
=
，从而得到
=
，即可得证；
（2）根据△AOD和△BOC相似求出
，再求出
，然后求出OE，根据EF=OE+OF即可．
| OE |
| BC |
| AO |
| AC |
| OF |
| BC |
| DF |
| DC |
| AO |
| AC |
| DF |
| DC |
| OE |
| BC |
| OF |
| BC |
（2）根据△AOD和△BOC相似求出
| AO |
| OC |
| AO |
| AC |
解答：（1）证明：∵AD∥BC，
∴△AOE∽△ABC，△DOF∽△DBC，
∴
=
，
=
，
又∵由AD∥BC得，△ACD∽△OCF，
∴
=
，
∴
=
，
∴OE=OF；
（2）解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△BOC，
∴
=
=
，
∴
=
=
，
∵BC=4，
∴
=
=
，
解得OE=
，
∴EF=OE+OF=
+
=
．
∴△AOE∽△ABC，△DOF∽△DBC，
∴
| OE |
| BC |
| AO |
| AC |
| OF |
| BC |
| DF |
| DC |
又∵由AD∥BC得，△ACD∽△OCF，
∴
| AO |
| AC |
| DF |
| DC |
∴
| OE |
| BC |
| OF |
| BC |
∴OE=OF；
（2）解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△BOC，
∴
| AO |
| OC |
| AD |
| BC |
| 3 |
| 4 |
∴
| AO |
| AC |
| 3 |
| 3+4 |
| 3 |
| 7 |
∵BC=4，
∴
| OE |
| 4 |
| AO |
| AC |
| 3 |
| 7 |
解得OE=
| 12 |
| 7 |
∴EF=OE+OF=
| 12 |
| 7 |
| 12 |
| 7 |
| 24 |
| 7 |
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，根据平行得到三角形相似是解题的关键，也是本题考查的重点．
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已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠C=120°，AB=8，则CD的长为（ ）A、
| ||||
B、4
| ||||
C、
| ||||
D、4
|
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