Question

如图所示，点A、B分别为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为农田，AD为河宽，且CD与AD互相垂直．经测量得AB=4千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°．
（1）求出河宽AD（结果保留根号）；
（2）求出公路CD的长．

Answer 1

解：作BF⊥AF，BG⊥CD，
（1）则∠BAF=60°，∴BF=ABsin60°=6，AF=ABcos60°=2，
∠BDA=90°-∠BDC=45°，
∴DF=BFtan45°=6，
∴AD=6-2；

（2）∵BG∥DF，BF∥GD，AD⊥CD，
四边形BFDG为矩形，
又∠BDC=45°，
∴四边形BFDG为正方形，
∴BG=DF=6，BF=DG=6，
在Rt△BCG中，BC=10，BG=6，
CG==8，
∴CD长度为6+8=14．
分析：（1）分别作BF⊥AF，BG⊥CD，解直角△ABF可求得AF、BF，解直角△BDF可求得DF的长，根据AF、DF可以求得AD的长；
（2）易证四边形BFDG为矩形，则DG=BF，在直角△BCG中，根据勾股定理即可求得CG的长，根据CG、DG即可求CD的长．
点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，特殊角的三角函数值的计算，三角函数在直角三角形中的运用．