Question

已知a、b、c满足a+b+c=0，且abc＞0，x=

a

|a|

+

b

|b|

+

c

|c|

，y=a(

1

b

+

1

c

)+b(

1

c

+

1

a

)+c(

1

b

+

1

a

)，求代数式x²⁰⁰⁰-6xy+y³的值．

Answer 1

分析：根据已知条件判断a、b、c的符号两负一正，以及当a＞0时，

a

|a|

=1，当a＜0时，

a

|a|

=-1，可求x的值，将y的不等式变形为

b+c

a

+

a+c

b

+

a+b

c

，由a+b+c=0，得b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，可求y的值，代入所求算式即可．

解答：解：由a+b+c=0，且abc＞0，可知a、b、c三数中，两负一正，
∵当a＞0时，

a

|a|

=1，当a＜0时，

a

|a|

=-1，
∴x=

a

|a|

+

b

|b|

+

c

|c|

=-1，
y=a(

1

b

+

1

c

)+b(

1

c

+

1

a

)+c(

1

b

+

1

a

)
=

b+c

a

+

a+c

b

+

a+b

c

=

-a

a

+

-b

b

+

-c

c

=-3，
∴x²⁰⁰⁰-6xy+y³=（-1）²⁰⁰⁰-6（-1）×（-3）+（-3）³
=1-18-27=-44．

点评：本题考查了代数式的求值，运用了

a

|a|

=±1，同分母的运算，分类讨论的方法．