题目内容

若△ABC三边的长a，b，c均为整数，且
1
a
+
1
b
+
3
ab
=
1
4
，a+b-c=8，设△ABC的面积为S，则S的最大值是
 
，最小值是
 
．
分析：根据
1
a
+
1
b
+
3
ab
=
1
4
得到（a-4）（b-4）=28，然后将28分解为1×28，2×14…等，据此得到a、b的所有可能值及c的值，利用海伦公式计算出面积，找出最小者与最大者即可．
解答：解：∵由
1
a
+
1
b
+
3
ab
=
1
4
可得，
4b+4a+12=ab，
ab-4a-4b=12，
∴（a-4）（b-4）=28，
∴a＞4，b＞4，
∴a-4=1，2，4，7，14，28，
b-4=28，14，7，4，2，1，
∴a=5，6，8，11，18，32，
b=32，18，11，8，6，5，
c=29，16，11，11，16，29，
（1）当a=5，b=32，c=29时，p=
5+32+29
2
=33，S=
p(p-a)(p-b)(p-c)
=
33(33-5)(33-32)(33-29)
=4
231
；
（2）当a=6，b=18，c=16时，p=
6+18+16
2
=20，S=
20(20-6)(20-18)(20-16)
=8
35
；
（3）当a=8，b=11，c=11时，p=
8+11+11
2
=15，S=
15(15-8)(15-11)(15-11)
=4
105
；
（4）当a=11，b=8，c=11时，p=
11+8+11
2
=15，S=
15(15-11)(15-8)(15-11)
=4
105
；
（5）当a=18，b=6，c=16时，p=
18+6+16
2
=20，S=
20(20-18)(20-6)(20-16)
=8
35
；
（6）当a=32，b=5，c=29时，p=
32+5+29
2
=33，S=
33(33-32)(33-5)(33-29)
=4
231
．
可见最大值为4
231
，最小值为4
105
．
故答案为4
231
，4
105
．
点评：此题考查了三角形的面积，根据所给算式求出a、b、c的值再用海伦公式解答是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为
5
、
10
、
13
，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上
 
；
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为
5
a、2
2
a、
17
a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积；
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为
m2+16n2
、
9m2+4n2
、2
m2+n2
（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．
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问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为
5
、
10
、
13
，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．
（1）若△ABC三边的长分别为
5
a，2
2
a，
17
a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
思维拓展：
（2）若△ABC三边的长分别为
m2+16n2
，
9m2+4n2
，2
m2+n2
（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．
探索创新：
（3）已知a、b都是正数，a+b=3，求当a、b为何值时
a2+4
+
b2+25
有最小值，并求这个最小值．
（4）已知a，b，c，d都是正数，且a2+b2=c2，c
a2-d2
=a2，求证：ab=cd．
问题：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为
2
、
13
、
17
，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上
5
2
5
2
．
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为
2
a、2
5
a、
26
a（a＞0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积是：
3a2
3a2
．
（3）若△ABC三边的长分别为
4m2+n2
、
16m2+n2
、2
m2+n2
（m＞0，n＞0，m≠n），请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出△ABC的面积为：
4mn
4mn
．
现场学习题
问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为
2
、
13
、
17
，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．
2.5
2.5

思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为
2
a、2
5
a、
26
a（a＞0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积是：
3a2
3a2
．

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