Question

已知直线y=2x+1-m与抛物线y=x²-4x+k的一个交点坐标为（1，-1）．
（1）分别求出直线与抛物线的函数解析式；
（2）如果在点（1，0）、（4，0）之间有一个动点F（a，0），过点F作y轴的平行线，交直线于点C，交抛物线于点D，求CD的长（用含a的代数式表示）；
（3）设抛物线的对称轴与直线交于点B，与x轴交于点A，四边形ABCD能否构成平行四边形？如果能，请求出这个平行四边形的面积；如果不能，请简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）把交点坐标（1，-1）分别代入直线和抛物线的解析式中，求的m、k；
（2）a的取值范围是（1，4），把a分别放进解析式，得出y和y′，根据取值范围可以确定y和y'的大小．两者相减就是CD的长；
（3）画出抛物线坐标图，求出B和A的坐标就可以判断出四边形是否平行四边形．

解答：解：（1）∵直线y=2x+1-m与抛物线y=x²-4x+k的一个交点坐标为（1，-1）．
∴将点（1，-1）分别代入解析式得：
-1=2+1-m，
∴m=4，
-1=1-4+k，
∴k=2，
∴直线与抛物线的函数解析式分别为：y=2x-3，y=x²-4x+2；

（2）∵在点（1，0）、（4，0）之间有一个动点F（a，0），过点F作y轴的平行线，交直线于点C，交抛物线于点D，
∴C（a，2a-3），D（a，a²-4a+2），
CD=2a-3-（a²-4a+2）=-a²+6a-5；

（3）存在B（2，9），A（2，0），
∵只要存在BC∥AD，AB∥CD可得，

BC

=（a-2，2a-12），

AD

=（a-2，4a-2-a²），
只要2a-12=4a-2-a²即可，此时BC∥AD
∴a=±

11

+1，∵a＞0，
∴a=

11

+1，
∴B（2，9），A（2，0），
∴点C横坐标为

11

+1，
高就是A点横坐标与C点横坐标的差，即高为

11

-1，
代入即得平行四边形面积为：9×(

11

-1)=9

11

-9．

点评：本题考查了二次函数的综合运用，其中涉及到的知识点有求抛物线的解析式，在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．二次函数图象与直线的结合形成的四边形形状的判定．