Question

如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：①△APE≌△AME；②PE²+PF²=PO²；③△POF∽△BNF；④当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有________（填序号）

Answer 1

①②④
分析：依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断．
解答：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵在△APE和△AME中

∴△APE≌△AME，∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠OEP=∠EOF=∠OFP=90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∴OE=PF，OF=PE，
在直角△OPF中，OE²+PE²=PO²，
∴PE²+PF²=PO²，∴②正确．
∵只有当△OFP是等腰直角三角形时，才能和△BFN相似，∴③错误；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAE=∠MAE=45°，
∵PE⊥AC，
∴∠AEP=∠AEM=90°，
∴∠AMP=∠APM=45°，
∴AM=AP，
∴△AMP是等腰直角三角形，
同理△BPN都是等腰直角三角形，
∴当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．
∴PM=PN，
∴AP=BP，即P时AB的中点，∴④正确．
故答案为：①②④．
点评：本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理的综合应用，认识△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键．