如图.在平面直角坐标系中.点A在x轴上.且OA=BA=2.∠OAB=120°.点N从O出发.以每秒1个单位得速度沿O→A→B向B运动.点M从B出发.以每秒$\sqrt{3}$个单位的速度沿B→O→y轴正半轴运动.M.N同时出发.当点N到达点B时两点同时停止运动.设运动时间为t.△OMN的面积为S．(1)求点B的坐标并求出直线AB的解析式．(2)请直接写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且OA=BA=2，∠OAB=120°，点N从O出发，以每秒1个单位得速度沿O→A→B向B运动，点M从B出发，以每秒$\sqrt{3}$个单位的速度沿B→O→y轴正半轴运动，M、N同时出发，当点N到达点B时两点同时停止运动，设运动时间为t，△OMN的面积为S．
（1）求点B的坐标并求出直线AB的解析式．
（2）请直接写出S与t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．
（3）当点M在线段BO上运动时，△OMN是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出此时t的值；如果不能，请说明理由．

分析（1）根据锐角三角函数，可得AD，BD，根据线段的和差，可得B点坐标；根据待定系数法，可得答案；
（2）分类讨论：①当0＜t≤2时，根据线段的和差，可得OM的长，根据锐角三角函数，可得M的纵坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；②当2＜t≤4时，根据锐角三角函数，线段的和差，可得N点的横坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案．

解答解：（1）如图1：

作BD⊥OA于D点．
由OA=BA=2，∠OAB=120°，得
∠BAD=60°．
AD=AB•cos∠BAD=2×$\frac{1}{2}$=1，OD=OA+AD=3，
BD=ABisn∠BAD=2×sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
B点坐标为（3，$\sqrt{3}$）．
设AB的解析式为y=kx+b，将A、B点坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{3k+b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
直线AB的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（2）①当0＜t≤2时，ON=t，BM=$\sqrt{3}$t，OM=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
y_M=OM•sin∠BOA=（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）sin30°=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t．
S=$\frac{1}{2}$ON•y_M=$\frac{1}{2}$•t•（$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
②当2＜t≤4时，ON=t-2，OM=$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$，x_N=（t-2）cos∠BAD+2=$\frac{1}{2}$（t-2）+2=$\frac{1}{2}$t+1．
S=$\frac{1}{2}$OM•x_N=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$）•（$\frac{1}{2}$t+1）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²-$\sqrt{3}$，
综上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{4}{t}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t（0＜t≤2）}\\{\frac{\sqrt{3}}{4}{t}^{2}-\sqrt{3}（2＜t≤4）}\end{array}\right.$；
（3）OM=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，ON=t，
当OM=ON时，2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t=t，解得t=3-$\sqrt{3}$；
当ON=MN时，$\frac{OM}{OB}$=$\frac{ON}{OA}$，即$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{2\sqrt{3}}$=$\frac{t}{2}$，解得t=1；
当OM=MN时，MO•cos∠MON=$\frac{1}{2}$ON，即（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）cos30°=$\frac{1}{2}$t，
解得t=$\frac{3}{2}$；
综上所述：当点M在线段BO上运动时，△OMN能成为等腰三角形，此时t的值t₁=3-$\sqrt{3}$，t₂=1，t₃=$\frac{3}{2}$．