Question

如图：△ACB与△DCE是全等的两个直角三角形，其中∠ACB=∠DCE=90°，AC=4，BC=2，点D、C、B在同一条直线上，点E在边AC上．
（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？请证明你的结论；
（2）如图（1）若△DCE沿着直线DB向右平移多少距离时，点E恰好落在边AB上，求平移距离DD′；
（3）在△DCE沿着直线DB向右平移的过程中，使△DCE与△ACB的公共部分是四边形，设平移过程中的平移距离为x，这个四边形的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域．

Answer 1

分析：（1）延长DE交AB于点G，由三角形的内角和能证明DE与AB的关系，
（2）由三角形相似能够计算出平移距离DD′，
（3）当点E恰好落在边AB上前时，△DCE与△ACB的公共部分是四边形，当C点与B点重合后向右移时，△DCE与△ACB的公共部分是四边形，y与x的函数关系式分为两部分，利用相似求出CN长度，从而得到AN长度，再得到NM、AM长度，
利用S_△ABC-S_△ANM得出四边形面积．

解答：解：（1）DE⊥AB，如图
延长DE交AB于点G，
在△AGE与△DCE中，
∠A=∠D，∠AEG=∠DEC，
∴∠AGE=∠ECD=90°，
∴DE⊥AB．

（2）
作图如图，当点E恰好落在边AB上，
Rt△D′HF∽Rt△FHB，
∴

HF

D′H

=

HB

HF

，
解得HB=1，
∴DD′=1，

（3）当平移过程中的平移距离为0＜x≤1时，△DCE与△ACB的公共部分是四边形MCC′E′，
∴四边形MCC′E′面积为：

1

2

×CC′×（MC+C′E′）=

1

2

x（2-

x

2

+2）=-

1

4

x²+2x；（0＜x≤1），
当1＜x＜2时，△DCE与△ACB的公共部分不是四边形，
当2≤x＜4时，△DCE与△ACB的公共部分是四边形NCBM，
∵CC'=x，所以D'C=4-x，
∵NC∥E″C″，
∴△D″CN∽△D″C″E″，
∴

D″C

D″C″

=

NC

E″C″

，

4-x

4

=

NC

2

，
∴CN=2-

x

2

，
∴AN=4-（2-

x

2

）=2+

x

2

，
∵△ANM∽△ABC，
∴

AN

AB

=

AM

AC

=

MN

BC

，
∴分别求出AM=

4 5 + 5 x

5

，
NM=

4 5 + 5 x

10

，
∴四边形NCBM面积为：
S_△ABC-S_△ANM=

1

2

×2×4-

1

2

×

4 5 + 5 x

5

×

4 5 + 5 x

10

，
=-

1

20

x²-

2

5

x+

16

5

，（2≤x＜4）．

点评：本题主要考查二次函数的最值和平移等知识点．