Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=BC=10，AD=16．动点P、Q分别从点D、B同时出发，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点Q运动到点C时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）直接用含t的代数式表示：PA=

16-2t

；
（2）当t=

16

3

秒时，PQ∥AB；
（3）设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能否为等腰三角形？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据已知求出即可；
（2）根据平行四边形的性质和判定得出BQ=AP，求出即可；
（3）求出CD和PN，分为三种情况：①PE=AP，②AE=AP，③PE=AE，根据勾股定理和等腰三角形的性质得出方程，求出方程的解即可．

解答：解：（1）∵AD=16，DP=t，
∴AP=16-2t，
故答案为：16-2t．

（2）当BQ=AP，
∵BC∥AD，
∴四边形PABQ是平行四边形，
∴此时PQ∥AB，
即t=16-2t，
t=

16

3

，
故答案为：

16

3

．

（3）设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能为等腰三角形，
理由是：
过B作BM⊥AD于M，
∴∠BMA=90°，
∵∠C=90°，
∴∠D=∠BMA，
∴CD∥BM，
∴四边形CDMB是矩形，
∴CD=BM，BC=DM=10，
∴AM=16-10-6，
在Rt△BMA中，AB=10，由勾股定理得：BM=8，
分为三种情况：①当PE=AP=16-2t时，
如图1，过P作PN⊥BC于N，
则四边形CDPN是矩形，
∴PN=CD=8，CN=DP=2t，
∵PE=AP，
∴∠A=∠E，
∵BC∥AD，
∴∠EBQ=∠A，
∴∠E=∠EBQ，
∴EQ=BQ=t，
在Rt△PNQ中，由勾股定理得：8²+（10-2t-t）²=（16-2t-t）²，
t=

23

9

；
②如图1，当AE=AP时，
∵AE=AP，
∴∠E=∠EPA，
∵BC∥AD，
∴∠EPA=∠CQP，
∵∠EQB=∠CQP，
∴∠E=∠EQB，
∴EB=QB=t，
∵AE=AP，BC=10，
∴10+t=16-2t，
t=2；
③如图1，当PE=AE时，∵BC∥AD，
∴∠EQB=∠EPA，∠EBQ=∠A，
∵AE=PE，
∴∠A=∠EPA，
∴∠EQB=∠EBQ，
∴QE=BE，
∵AE=PE，
∴BC=PQ=10，
在Rt△PNQ中，NQ=10-2t-t=10-3t，pn=8，PQ=BC=10
由勾股定理得：8²+（10-3t）²=10²，
t=

4

3

；
④当p在DA的延长线上时，若PA=AE，则2t-16=10-t，
解得：t=

26

3

，而点Q运动到点C所用时间是10秒，

26

3

＜10，符合题意
即设射线PQ与射线AB相交于点E，△AEP能为等腰三角形，t的值是

23

9

秒或2秒或

4

3

秒或

26

3

秒．

点评：本题考查了矩形的性质和判定，梯形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，注意要进行分类讨论啊．