Question

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于B，大圆的弦BC⊥AB，过点C作大圆的切线交AB的延长线于D，OC交小圆于E
（1）求证：△AOB∽△BDC；
（2）设大圆的半径为x，CD的长y，yx之间的函数解析式，并写出定义域．
（3）△BCE能否成为等腰三角形？如果可能，求出大圆半径；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由大⊙O与CD相切于点C，根据切线的性质，可得∠DCO=90°，又由BC⊥AB，OB=OC，根据等边对等角与等角的余角相等，可得∠BCD=∠ABO，又由小⊙O与AB相切于点A，可得∠CBD=∠BAO=90°，由有两角对应相等的三角形相似，即可判定△AOB∽△BDC；
（2）首先过点O作OH⊥BC，垂足为H．易得四边形OABH是矩形，由勾股定理可得AB=，又由△AOB∽△BDC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得y与x之间的函数解析式；
（3）分别从EB=EC，CE=CB，BC=BE去分析求解，即可求得答案．
解答：（1）证明：∵大⊙O与CD相切于点C，
∴∠DCO=90°．
∴∠BCD+∠OBC=90°，…（1分）
∵CB⊥AD，
∴∠ABO+∠OCB=90°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，…（1分）
∴∠BCD=∠ABO．…（1分）
∵小⊙O与AB相切于点A，
∴∠BAO=90°．
∴∠CBD=∠BAO．…（1分）
∴△AOB∽△BDC．…（1分）

（2）解：过点O作OH⊥BC，垂足为H．
∵∠OAB=∠ABC=∠BHO=90°，
∴四边形OABH是矩形．…（1分）
∵BC是大⊙O的弦，
∴BC=2BH=2OA=2，…（1分）
在Rt△OAB中，AB==．…（1分）
∵△AOB∽△BDC，
∴，…（1分）
∴，
∴函数解析式为y=，…（1分）
定义域为：x＞1．…（1分）

（3）解：当EB=EC时，∠ECB=∠EBC，而∠ECB=∠OBC，
∴EB≠EC．
当CE=CB时，OC=CE+OE=CB+OE=2+1=3．…（1分）
当BC=BE时，∠BEC=∠ECB=∠OBC，则△BCE∽△OCB．…（1分）
则，
设OC=x，则CE=x-1，，
解得：x=（负值舍去）．
∴OC=．…（1分）
综上所述，△BCE能成为等腰三角形，这时大圆半径为3或．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式有意义的条件，切线的性质以及等腰三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．