Question

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，MN为大圆的直径，交小圆于点P、Q，大圆的弦MC交小圆于点A、B．若OM=2，OP=1，MA=AB=BC，则△MBQ的面积为

3 15

8

．

Answer 1

分析：首先过O点作OD⊥AB，垂足为D，连接OA，设OD=x，AD=y，利用勾股定理和垂径定理求出x和y的值，继而求出sin∠MDO的值，然后过B点作BE⊥MQ，垂足为E，在Rt△MEB中，sin∠BME=sin∠MDO，求出BE的值，利用三角形的面积公式求出△MBQ的面积．

解答：解：过O点作OD⊥AB，垂足为D，连接OA，
设OD=x，AD=y，
∵O是圆心，MC是圆的一条弦，OD⊥AB，
∴AD=DB=

1

2

AB，MD=CD=

1

2

MC，
∵MA=AB=BC，
∴MA=2AD，
在Rt△ADO中，AD²+OD²=OA²，
即y2+x2=1…①，
在Rt△MDO中，OD²+MD²=MO²，
即x²+9y²=4…②，
联立①②解得x=

10

4

，y=

6

4

，
在Rt△MDO中，sin∠MDO=

OD

OM

=

10

8

，
过B点作BE⊥MQ，垂足为E，
在Rt△MEB中，sin∠BME=

BE

BM

=

10

8

，
解得BE=

15

4

，
S_△BMQ=

1

2

MQ•BE=

1

2

×3×

15

4

=

3 15

8

，
故答案为

3 15

8

．

点评：本题主要考查垂径定理和勾股定理的知识点，解答本题的关键是添加辅助线，利用辅助线构造成直角三角形进行解题，此题是一道比较典型的试题，请同学们注意．