Question

（2013•徐汇区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，点D是斜边AB的中点，把△ABC绕点C旋转，使得点B落在射线CD上，点A落在点A′．那么AA′的长是

8 5

5

．

Answer 1

分析：先根勾股定理计算出BC=3，由点D是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DC=DB，则∠DCB=∠B，再根据旋转的性质得∠B=∠B′，CA=CA′=4，AB=A′B′=5，∠ACB=∠A′CB′=90°，则∠B′=∠DCB，得到A′B′∥BC，所以A′B′⊥AC，利用面积法可计算出CE=

12

5

，AE=AC-CE=4-

12

5

=

8

5

，然后在Rt△A′CE中，利用勾股定理计算出A′E=

16

5

，再在Rt△AA′E中利用勾股定理可计算出AA′．

解答：解：设AC与A′B′的交点为E，如图，
∵∠C=90°，AB=5，AC=4，
∴BC=

52-42

=3，
∵点D是斜边AB的中点，
∴DC=DB，
∴∠DCB=∠B，
∵△ABC绕点C旋转，使得点B落在射线CD上，点A落在点A′，
∴∠B=∠B′，CA=CA′=4，AB=A′B′=5，∠ACB=∠A′CB′=90°，
∴∠B′=∠DCB，
∴A′B′∥BC，
而∠ACB=90°，
∴A′B′⊥AC，
∵

1

2

CE•A′B′=

1

2

A′C•CB′，
∴CE=

12

5

，
∴AE=AC-CE=4-

12

5

=

8

5

在Rt△A′CE中，A′E=

A′C2-CE2

=

16

5

，
在Rt△AA′E中，AA′=

A′E2+AE2

=

( 16 5 )2+( 8 5 )2

=

8 5

5

．
故答案为

8 5

5

．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理．