Question

（2013•徐汇区一模）抛物线y=mx²-5mx+n与y轴正半轴交于点C，与x轴分别交于点A和点B（1，0），且OC²=OA•OB．
（1）求抛物线的解析式；                                        
（2）点P是y轴上一点，当△PBC和△ABC相似时，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）由题意，得抛物线对称轴是直线x=

5

2

，并且A和B关于直线x=

5

2

对称，因为点B（1，0），所以A（4，0），又因为OC²=OA•OB，进而求出OC的长，所以C点的坐标可求，从而求出抛物线的解析式；  
（2）首先△BOC∽△COA，所以∠OCB=∠OAC，所以当△PBC和△ABC相似时，分两种情况①当

CP

BC

=

AB

AC

时②当

CP

BC

=

AC

AB

时分别求出符合题意的OP的长，即可求出P点的坐标．

解答：解：（1）由题意，得抛物线对称轴是直线x=

5

2

，
∵点A和点B关于直线x=

5

2

对称，点B（1，0），
∴A（4，0），
∵OC²=OA•OB=4×1=4，
∴OC=2，
∵点C在y轴正半轴上，
∴C（0，2），
∴y=

1

2

x2-

5

2

x+2；
（2）由题意，可得AB=3，BC=

5

，AC=2

5

，
∵OC²=OA•OB，
∴

OB

OC

=

OC

OA

，
又∠BOC=∠COA，
∴△BOC∽△COA，
∴∠OCB=∠OAC，
∴△PBC和△ABC相似时，分下列两种情况：
①当

CP

BC

=

AB

AC

时，得

CP

5

=

3

2 5

，∴CP=

3

2

，
∴OP=OC-CP=2-

3

2

=

1

2

，
∴P(0，

1

2

)；
②当

CP

BC

=

AC

AB

时，得

CP

5

=

2 5

3

，∴CP=

10

3

，
∴OP=CP-OC=

10

3

-2=

4

3

，
∴P(0，-

4

3

)，
综合①、②当△PBC和△ABC相似时P(0，

1

2

)或P(0，-

4

3

)．

点评：本题考查了求二次函数的解析式、相似三角形的判定和性质，解题的关键是要注意分类讨论的数学思想运用，防止漏解．