Question

【题目】如图1，一条抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且当x=﹣1和x=3时，y的值相等，直线与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M．

（1）求这条抛物线的表达式．
（2）动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t秒．
①若使△BPQ为直角三角形，请求出所有符合条件的t值；
②求t为何值时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是多少？
（3）如图2，当动点P运动到OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，连接OD，OM，MD得△ODM，将△OPD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m＜2），将平移后的三角形与△ODM重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵当x=﹣1和x=3时，y的值相等，

∴抛物线的对称轴为直线x=1，把x=1和x=6分别代入中，得顶点M（1，﹣），另一个交点坐标为（6，6），

则可设抛物线的表达式为y=a（x﹣1）2﹣，将（6，6）代入其中，解得a=，

∴抛物线的表达式为y=，即 y=

（2）

解：如下图：

当y=0时，=0． 解得：x1=﹣2，x2=4．

由题意可知：A（ 2，0），B（4，0），

所以OA=2，OB=4；

当x=0时，y=﹣3，

所以点C（0，﹣3），OC=3，

由勾股定理知BC=5，

OP=1×t=t，BQ=2×t=2t，

①∵∠PBQ是锐角，

∴有∠PQB=90°或∠BPQ=90°两种情况：当∠PQB=90°时，可得△PQB∽△COB，

∴，

∴，

∴t=；

当∠BPQ=90°时，可得△BPQ∽△BOC，

∴，

∴，

∴t=；

由题意知0≤t≤2.5，

∴当t=或t=时，以B，P，Q为顶点的三角形是直角三角形…7分

②过点Q作QG⊥AB于G，

∴△BGQ∽△BOC，

∴，

∴，

∴GQ=，

∴S四边形ACQP=S△ABC﹣S△BPQ=﹣=

=9．

∵＞0，

∴四边形ACQP的面积有最小值，

又∵t=2 满足0≤t≤2.5，

∴当t=2时，四边形ACQP的面积最小，最小值是；

（3）

解：如下图，

由OB=4得OP=2，把 x=2代入y=中，得y=﹣3，

所以D（2，﹣3），

直线CD∥x轴，

设直线OD的解析式为y=k1x，

则k1=﹣，所以y=﹣x，

因为△P1O1D1是由△POD 沿x轴 向左平移m个单位得到的，所以P1（2﹣m，0），D1（2﹣m，﹣3），E（2﹣m，﹣3+ ）

设直线OM的解析式为y=k2x，

则k2=﹣，

所以y=﹣．

①当0时，作FH⊥轴于点H，由题意O1（﹣m，0），

又∵O1D1∥OD，

∴直线O1D1的解析式为y=﹣．

联立方程组，

解得，

所以F（，），

所以FH=，

=﹣﹣==3m﹣．

如下图，

当时，设D1P1交OM于点F，直线OM的解析式为y=﹣，

所以F（2﹣m，﹣），

所以EF=，

∴S△OEF=

综上所述，S=．

【解析】（1）因为当x=﹣1和x=3时，y的值相等，所以抛物线的对称轴为直线x=1，将x=1和x=6分别代入中，可求得抛物线的顶点坐标和与直线另一交点的坐标，然后设出抛物线的顶点式，最后将（6，6）代入即可求得抛物线的解析式；
（2）①先求得A（ 2，0），B（4，0），C（0，﹣3），从而可得到OA=2，OB=4；OC=3，由勾股定理知BC=5，有∠PQB=90°或∠BPQ=90°两种情况：当∠PQB=90°时，可得△PQB∽△COB，当∠BPQ=90°时，可得△BPQ∽△BOC；②过点Q作QG⊥AB于G，能够等到△BGQ∽△BOC，可求得GQ=然后S四边形ACQP=S△ABC﹣S△BPQ=9-，从而可求得四边形的面积的最值；
（3）先求得点D的坐标，然后根据平移与坐标变换的关系得出点P1（2﹣m，0），D1（2﹣m，﹣3），E（2﹣m，﹣3+ ），①当0时，作FH⊥轴于点H，S四边形ACQP=S△ABC﹣S△BPQ；当时，设D1P1交OM于点F，S△OEF=．