题目内容
【题目】已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE．
（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD=
CD，直接写出∠BAD的度数．
（3）若BD=CD，直接写出∠BAD的度数．
【答案】
（1）
证明：如图1，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=90°，
∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ACE=∠ABC=45°．
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∴BD⊥CE；
（2）
解：2AD2=BD2+CD2，
理由：如图2，
将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．
与（1）同理可证CE=BD，CE⊥BD，
∵∠EAD=90°AE=AD，
∴ED=
AD，
在RT△ECD中，ED2=CE2+CD2，
∴2AD2=BD2+CD2．
（3）
解：方法一：
如图3，
①当D在BC边上时，将线段AD1绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AE，连接BE，
与（1）同理可证△ABE≌△ACD1，
∴BE=CD1，BE⊥BC，
∵BD=
CD，
∴BD1=BE，
∴tan∠BD1E=
=
，
∴∠BD1E=30°，
∵∠EAD1=∠EBD1=90°，
∴四边形A、D1、B、E四点共圆，
∴∠EAB=∠BD1E=30°，
∴∠BAD1=90°﹣30°=60°；
②将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AF，连接CF．
同理可证：∠CFD2=30°，
∵∠FAD2=∠FCD2=90°，
∴四边形A、F、D2、C四点共圆，
∴∠CAD2=∠CFD2=30°，
∴∠BAD2=90°+30°=120°，
综上，∠BAD的度数为60°或120°．
方法二：
①当D在线段BC上时，如图3，连接DE，则△DCE是直角三角形，∠DCE=90°；
∵BD=CD，CE=BD，
∴CE=CD，
∴∠EDC=60°，
∴∠ADB=180°﹣∠EDC﹣∠ADE=75°，
∴∠BAD=180°﹣∠B﹣∠BDA=60°；
②当B在BC延长线上时，如图3，△ECD是直角三角形，∠ECD=90°；
∵CE=BD，
∴CE=CD，
∴∠CED=30°，
∴∠AEC=45°﹣∠CED=15°，
∴∠CAE=180°﹣∠ACE﹣∠AEC=120°，
∴∠BAD=∠CAE=120°．
综上，∠BAD的度数为60°或120°．
【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据旋转性质可得AD=AE，∠DAE=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△BAD和△CEF全等，从而得证；
（2）将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．与（1）同理可得CE=BD，CE⊥BD，根据勾股定理即可求得2AD2=BD2+CD2；
（3）分两种情况分别讨论即可求得．
