Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，且AB=4，CD=3，BC=7．O为AD边的中点，OH⊥BC于H，求OH的长．

Answer 1

分析：过点C作CE⊥AB于E，连接OC、OB，先求出OC和OB的长，并利用勾股定理证明∠BOC为直角，再利用S△BOC=

1

2

BC•OH=

1

2

OC•OB，即可求出OH的长度．

解答：解：过点C作CE⊥AB于E，
连接OC、OB．
在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，
∴易得四边形DAEC为矩形，∠D=90°．
∴AE=DC=3，DA=CE．
∵AB=4，
∴EB=1．（1分）
在Rt△CEB中，BC=7，
∴CE=

CB2-BE2

=

49-1

=4

3

．（2分）
∴DA=4

3

．
∵O为AD边的中点，
∴DO=OA=2

3

．（3分）
在Rt△OCD中，OC²=OD²+CD²=21，
在Rt△OAB中，OB²=OA²+AB²=28，
∵OC²+OB²=BC²，
∴∠BOC=90°．（4分）
∵OH⊥BC于H，
∴S△BOC=

1

2

BC•OH=

1

2

OC•OB．
∴7OH=

21

×

28

．
∴OH=2

3

．（5分）

点评：本题考查了梯形与勾股定理的知识，难度较大，关键是正确作出辅助线及勾股定理的灵活运用．