Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE．

（1）求证：AE＝BD；

（2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝4．求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

(1)根据AC=BC、∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD、CE=CD证△ACE≌△BCD即可；

(2)连接DE，可得△DCE是等边三角形，即∠CDE=60°、DC=DE，继而在Rt△ADE中，由勾股定理可得DE的长，即可求得CD．

(1)∵△ABC是等边三角形，

∴AC=BC，∠ACB=60°，

由旋转的性质可得：

CE=CD，∠DCE=60°，

∴∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD，

即∠ACE=∠BCD．

在△ACE和△BCD中，

∵，

∴△ACE≌△BCD(SAS)，

∴AE=BD；

(2)连接DE．

∵CD=CE，∠DCE=60°，

∴△DCE是等边三角形．

∴∠CDE=60°，DC=DE．

∵∠ADC=30°，

∴∠ADC+∠CDE=90°．

∵AD=3，BD=4，

∴AE=BD=4．

在Rt△ADE中，由勾股定理，

可得．

∴DC=DE=．