Question

如图：将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°得到矩形EBGF，使A、B、G三点在同一直线上，连接DF．
（1）若点M是线段DF的中点，连接EM并延长交DC于点H，试说明EM=MH；
（2）若AB=2，AD=1．
①求线段DF长；
②在直线AG上确定点P，使△PDF是等腰三角形，请直接写出线段BP的长．

Answer 1

分析：（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠EFM=∠HDM，然后利用“角边角”证明△EFM和△HDM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM=MH；
（2）①延长DC交FG于N，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小求出CN，然后求出FN、DN，再利用勾股定理列式进行计算即可得解；
②根据矩形的对角线相等可得点P与点B、G重合时，△PDF是等腰三角形；再以点F为顶角顶点时，利用勾股定理列式求出PG的长，然后分点P在点B的左边与右边两种情况解答．

解答：解：（1）∵矩形EBGF是矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°得到，
∴EF∥DC，
∴∠EFM=∠HDM，
∵点M是线段DF的中点，
∴DM=FM，
在△EFM和△HDM中，
∵

∠EFM=∠HDM DM=FM ∠EMF=∠HMD(对顶角相等)

，
∴△EFM≌△HDM（ASA），
∴EM=MH；

（2）①如图，延长DC交FG于N，
则CN=EF=AD=1，
所以，FN=2-1=1，
DN=2+1=3，
在Rt△DNF中，DF=

DN2+FN2

=

32+12

=

10

；

②由矩形的性质可得，点P与点B、G重合时，△PDF是等腰三角形，
此时BP₁=0，BP₂=1，
以点F为顶角顶点时，根据勾股定理，PG=

PF2-FG2

=

10 2-22

=

6

，
点P在点B左边时，BP₃=PG-BG=

6

-1，
点P在点B右边时，BP₄=PG+BG=

6

+1，
综上所述，线段BP的长为0或1或

6

-1或

6

+1．

点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，矩形的性质，综合性较强，但难度不是很大，△PDF是等腰三角形要根据腰长的不同进行分情况讨论求解．