Question

已知二次出数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x₁，0）且1＜x₁＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，则①4a-2b+c=0，②a-b＜0，③2a+c＞0，④2a-b+1＜0，其中正确的个数为（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：计算题

分析：根据已知画出图象，把x=-2代入得：4a-2b+c=0，2a+c=2b-2a；把x=-1代入得到a-b+c＞0；根据-

b

2a

＜0，推出a＜0，b＜0，a+c＞b，计算2a+c=2b-2a＞0；代入得到2a-b+1=-

1

2

c+1＞0，根据结论判断即可．

解答：解：根据二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，画出图象为：如图
把x=-2代入得：4a-2b+c=0，∴①正确；
把x=-1代入得：y=a-b+c＞0，又如图A点，a-b＞-c＜0，∴②不正确；
∵（-2，0）、（x₁，0），且1＜x₁＜2，
∴取符合条件1＜x₁＜2的任何一个x₁，-2•x₁＜-2，
∴由一元二次方程根与系数的关系知 x₁•x₂=

c

a

＜-2，
∴不等式的两边都乘以a（a＜0）得：c＞-2a，
∴2a+c＞0，∴③正确；
④由4a-2b+c=0得 2a-b=-

c

2

，
而0＜c＜2，∴-1＜-

c

2

＜0
∴-1＜2a-b＜0
∴2a-b+1＞0，
∴④正确．
所以①③④三项正确．
故选：C．

点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与X轴的交点，二次函数与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子得符号是解此题的关键．